Fourier Transformation

傅立叶变换在信号处理以及图像处理中出现的频率实在太高，高的实在是忍不住了，遂整理一下。

傅立叶级数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。即：
给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数：
$\hspace{8mm}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_ke^{jk(\frac{2\pi}{T})t} \hspace{16mm}(1)\\ \hspace{16mm}其中： \hspace{4mm}a_k = \frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}dt \hspace{16mm}(2)$
1. 注意$a_k$中的积分范围是一个周期
2. 注意到$e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}$是周期为T的函数。故k取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。k=0时，称为直流分量，k=1时具有基波频率称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等

傅立叶变换

• 连续形式
  $F(w) = \mathscr{F}[f(t)] = \int^{\infty}_{-\infty}{f(t)e^{-iwt}dt} \\ f(t) = \mathscr{F}^{-1}[F(w)] = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}{F(w)e^{iwt}dw}$
• 离散形式